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兀是無理數還是有理數怎么證明

2020-02-06 08:53:10文/董月

π是無理數。因為,根據有理數的定義:有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通則為a/b。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。而π=3.1415926...是無限不循環小數,不在有理數的范圍。

兀是無理數還是有理數

證明過程

假設π是有理數,則π=a/b,(a,b為自然數)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0<x<a/b,則

0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)

0<sinx<1

以上兩式相乘得:

0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)

當n充分大時,,在[0,π]區間上的積分有

0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1)

又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)

由于n!f(x)是x的整系數多項式,且各項的次數都不小于n,故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數,因此,F(x)和F(π)也都是整數。

又因為

d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有:

∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此處上限為π,下限為0)

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]區間上的積分為整數,這與(1)式矛盾。所以π不是有理數,又它是實數,故π是無理數。

圓周率

圓周率是表示圓的周長與直徑比值的數學常數,用希臘字母π表示。π也等于圓形之面積與半徑平方之比,近似值約等于3.14159265359,是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值,在分析學里,π可以嚴格地定義為滿足sinx=0的最小正實數x。

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